Un problema geometrico

Enunciado: sea $ABCD$ un trapecio con $AB \parallel CD$ y $AB+CD=AD$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $E$, y la recta por $E$ paralela a $AB$ corta a $AD$ en $F$. Queremos demostrar que $\angle BFC = 90°$.

Paso 1 — FD = DC y FA = AB: como $EF \parallel AB \parallel CD$, el teorema de Tales en el triángulo $ABD$ da $\frac{AF}{FD}=\frac{AB}{DC}$. Sumando 1 en ambos lados y usando $AD=AB+DC$ se llega a $\frac{AD}{FD}=\frac{AD}{DC}$, es decir $FD=DC$. De forma simétrica, trabajando en el triángulo $ABC$, se obtiene $FA=AB$.

Paso 2 — el ángulo en F: llamemos $\alpha=\angle ADC$ y $\beta=\angle DAB$. Como $AB \parallel CD$, estos ángulos son suplementarios: $\alpha+\beta=180°$. El triángulo $FDC$ es isósceles porque $FD=DC$, así que sus ángulos en $F$ y en $C$ miden cada uno $90°-\frac{\alpha}{2}$. Del mismo modo, el triángulo $FAB$ es isósceles porque $FA=AB$, y sus ángulos en $F$ y en $B$ miden $90°-\frac{\beta}{2}$.

Como $A$, $F$ y $D$ están alineados, los ángulos $\angle AFB$, $\angle BFC$ y $\angle CFD$ suman $180°$. Por lo tanto:

$$\angle BFC = 180° - \left(90°-\frac{\beta}{2}\right) - \left(90°-\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{180°}{2} = 90°$$

Conclusión: queda demostrado que $\angle BFC = 90°$.